Tema 8: Analisis Vectorial
ANALSISI VECTORIAL
La importancia y las aplicaciones de los vectores en la vida cotidiana
Para saber cuan importantes son los vectores primero se necesita saber que son, los vectores son una herramienta para representar magnitudes físicas (el desplazamiento, la fuerza y la velocidad)’ de las cuales depende únicamente un módulo (o longitud) y una dirección y sentido para quedar definido.
Algunos ejemplos de usoscotidianos son la velocidad con la que se desplaza un automóvil ya que no queda definida tan sólo por lo que marca el velocímetro sino que se requiere indicar la dirección hacia la que se dirige, otro seria la fuerza ya sea al construir puentes para saber cuánto peso puede resistir sin colapsar y así evitar accidentes que pueden costar vidas o en la construcción de edificios calculando cuantascolumnas y de que grosura se necesitan para resistir una cierta cantidad de pisos.
Sin los vectores muchas de las construcciones se harían con deficiencia lo cual pondría a muchas personas en peligro o también las maquinas ensambladoras en las fábricas no funcionaran de una forma eficaz.
Claro la para sacar los vectores y hacer las cosas mencionadas anteriormente se necesitan de varias fórmulaspara saber la velocidad, fuerza o desplazamiento necesario o hecho al cargar un objeto, jalarlo etc. sin necesidad de hacerlo con un instrumento especial y de una forma más exacta.
Conclusión
Gracias a los vectores se puede resolver varios problemas relacionados con las magnitudes físicas y así proporcionarnos ayuda en nuestra vida cotidiana.
La importancia y las aplicaciones de los vectores enla vida cotidiana
Para saber cuan importantes son los vectores primero se necesita saber que son, los vectores son una herramienta para representar magnitudes físicas (el desplazamiento, la fuerza y la velocidad)’ de las cuales depende únicamente un módulo (o longitud) y una dirección y sentido para quedar definido.
Algunos ejemplos de usos cotidianos son la velocidad con la que se desplaza unautomóvil ya que no queda definida tan sólo por lo que marca el velocímetro sino que se requiere indicar la dirección hacia la que se dirige, otro seria la fuerza ya sea al construir puentes para saber cuánto peso puede resistir sin colapsar y así evitar accidentes que pueden costar vidas o en la construcción de edificios calculando cuantas columnas y de que grosura se necesitan para resistir unacierta cantidad de pisos.
Sin los vectores muchas de las construcciones se harían con deficiencia lo cual pondría a muchas personas en peligro o también las maquinas ensambladoras en las fábricas no funcionaran de una forma eficaz.
Definición de vector en física
Elementos de un vector
Módulo
Línea de acción
Dirección
Tipos de los vectores
Vectores colineales
Vectores en el plano R2
- Todos los vectores horizontales, es decir paralelos al eje X poseen un vector unitario a (1;0) si tienen sentido positivo y (-1;0) si tienen sentido negativo; el vector unitarios con dirección X se representa con la letra «i» con su respectivo signo.
- Los vectores paralelos al eje Y con sentido positivo tienen como vector unitario a (0;1) y los que tienen sentido negativo tienen como vector unitario a (0;-1); el vector unitario con dirección Y se representa mediante la letra «j» con su respectivo signo.
Claro la para sacar los vectores y hacer las cosas mencionadas anteriormente se necesitan de varias fórmulas para saber la velocidad, fuerza o desplazamiento necesarioo hecho al cargar un objeto, jalarlo etc. sin necesidad de hacerlo con un instrumento especial y de una forma más exacta.
Un vector en física, se define como un ente matemático, que se puede representar gráficamente mediante un segmento de recta orientado, es decir mediante una flecha que indica el sentido del vector, parte de un punto y termina en otro. Un vector es un elemento matemático, así como lo son: el punto, la recta, y el plano.
El vector es un elemento que representa una magnitud física de tipo vectorial, a partir de ella se pueden obtener varios datos sobre el comportamiento de un fenómeno físico como: la velocidad, aceleración, fuerza, etc.
Antes de empezar estableceremos las diferencias entre las magnitudes fundamentales y derivadas.
Las magnitudes físicas vectoriales son las que poseen dirección y sentido; es decir para que queden expresadas completamente, se necesita establecer su módulo, dirección y sentido. Por ejemplo, la velocidad es una magnitud vectorial, porque cuando expresamos la velocidad de un móvil, es necesario indicar la dirección y sentido de dicho movimiento para que la información sea completamente entendible.
Lo mismo ocurre con magnitudes como la fuerza, desplazamiento, la aceleración, cantidad de movimiento, etc. son magnitudes que requieren de una dirección y sentido para estar completamente definido.
Un vector se representa gráficamente mediante una flecha, sin embargo para expresar en enunciados o problemas a resolver se suele emplear una letra mayúscula o minúscula con una flecha sobre ella, así como aparece en la figura anterior. Un vector también puede estar expresada en sus componentes rectangulares, la misma que conoceremos más adelante.
El vector posee elementos que ayudan representarlo y entender de la mejor manera posible, veamos cuales son y en qué consisten.
Un vector tiene un punto de aplicación, llamado también como punto de origen, este se encuentra dentro del sistema de coordenadas o también llamado espacio euclidiano, se ubica en un punto con sus respectivas coordenadas.
Conocido también como magnitud (tamaño), el módulo es el valor del vector y de acuerdo al tipo de magnitud que representa, esta tendrá sus unidades de medida, por ejemplo cuando se trata de un vector posición su unidad puede estar expresado en metros, o si se trata de un vector velocidad, su unidad puede ser en m/s.
El módulo de un vector se representa con barras dobles y su valor es un número con unidades, ejemplo:
Cuando un vector se presenta con sus respectivas componentes, ya sea en el plano bidimensional o tridimensional, su módulo será la raiz cuadrada de la suma total del cuadrado de sus componentes. Por ejemplo:
El sentido de un vector esta dada por la orientación que posee dentro de su línea de acción, se representa mediante una flecha que indica el sentido, un vector puede tomar solo uno de dos sentidos en una misma línea de acción.
Es la línea imaginaria donde se encuentra completamente el vector, sobre dicha línea, el vector se puede mover sin cambiar su dirección y sentido. Desplazar vectores sobre su línea de acción, es bastante útil cuando se analizan magnitudes como la fuerza resultante sobre un cuerpo.
La dirección de un vector está dado por el grado de inclinación de la línea de acción del vector respecto a un eje coordenado, generalmente el eje X positivo. La dirección se expresa mediante el ángulo que forma la línea de acción con el eje positivo horizontal X.
Los vectores se clasifican en varios tipos, de acuerdo a la forma en la que se presentan, conocerlas es importante, ya que en la resolución de ejercicios de vectores, no encontraremos con estos e identificarlas aportara en su solución. Veamos cuales son:
Dos o más vectores son colineales cuando tienen la misma línea de acción, sin importar el sentido que tomen, siempre y cuando se encuentren en la misma línea de acción.
Los vectores coplanares son aquellos que se encuentran sobre un mismo plano, sin importar sus direcciones ni sentidos.
Se dice que dos o más vectores son concurrentes cuando sus líneas de acción se intersectan o concurren en un mismo punto. Para ver si los vectores son concurrente puedes proyectar sus líneas de acción.
Cunado dos o más vectores poseen el mimo modulo, la misma dirección y sentido, entonces se dice que son vectores iguales.
Dos vectores son opuestos, cuando poseen la misma dirección pero sentidos opuestos. Por ejemplo el vector opuesto de (3i+2j) será (-3i-2j).
El vector unitario es aquel que tiene como módulo a la unidad, el objetivo de un vector unitario es indicar la dirección y sentido de un vector determinado.
Si se tiene como dato al vector unitario de un vector cuyo modulo es conocido, entonces podemos calcular el vector multiplicando su módulo por su vector unitario.
Los vectores se pueden analizar en el plano cartesiano, ya sea en un plano de dos ejes X y Y, como vectores en el plano R2 o en el espacio tridimensional con ejes X, Y y Z, como vectores en el espacio R3, el comportamiento es similar, solo que en tres dimensiones los vectores se consideran con tres componentes. Veamos mejor a continuación para evitar dudas.
Un vector puede estar ubicado en cualquier posición dentro del plano cartesiano R2, puede tomar cualquier punto como origen, así como su punto final, además los vectores siempre poseen una dirección y sentido, y en este caso tendrán dos componentes (X;Y), la misma que desarrollaremos más adelante.
Cundo disponemos del punto final y el punto de origen del vector, podemos calcular rápidamente el vector formado; simplemente debemos restar el punto final menos el punto de origen.
En el plano cartesiano bidimensional podemos representar las componentes rectangulares que posee un vector:
El módulo de un vector es igual a la raíz cuadrada de la suma total de los cuadrados de sus componentes.
Los vectores unitarios rectangulares son prácticamente los vectores unitarios de los ejes cartesianos.
Los vectores también pueden analizarse en el espacio tridimensional, sucede de manera similar que en el plano cartesiano, pero en R3, los vectores poseen tres componentes: X, Y y Z, vemos cómo se ve un vector cuyo origen o punto de aplicación coincide con el origen de coordenadas.
Un vector en R3 está limitado por su punto de origen o aplicación y su punto final; para encontrar las componentes de cualquier vector en el espacio, simplemente restamos el punto final menos el punto de origen, como resultado obtenemos el vector en cuestión, veamos la imagen:
El módulo de un vector posicionado en cualquier parte del espacio tridimensional se calcula de manera similar que en el plano cartesiano; en este caso será igual a la raíz cuadrada de la suma total de los cuadrados de sus componentes.
Un vector en R3 formará un ángulo con los ejes coordenados, en este caso se formarán tres ángulos en total con el eje X, Y y Z. dichos ángulos serán: α, β y Ɵ respectivamente, estos definen la direccion del vector en 3D, observa la imagen para entender mejor.
Además se cumple que la suma de los cuadrados del valor de los cosenos es igual a la unidad.
El vector unitario de un vector cualquiera es el vector dividido entre su módulo, en este caso coincide con los cosenos directores del vector:
Los vectores unitarios de los ejes coordenados son similares como en el plano cartesiano, pero en R3 tendrán tres componentes de las cuales uno de ellos toma el valor de la unidad y los demás cero, dependiendo de la dirección y sentido que toma:
Multiplicar un vector por un escalar, es decir por un número; hace que el modulo del vector se multiplique el número de veces que indica el escalar, por lo tanto, el resultado es un vector cuya dirección es la misma pero su módulo cambia.
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